Question

11．已知函数f（x）=a（x²+1）．若对任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]时，恒有ma-f（x）＞a²+lnx成立，则实数m的取值范围为（　　）

• A． m≤2
• B． m＜2
• C． m≤-2
• D． m＜-2

Answer 1

分析 对任意x∈[1，3]时，恒有ma-f（x）＞a²+lnx成立，等价于ma-a²＞[a（x²+1）+lnx]_max，由h（x）=a（x²+1）+lnx的单调性，根据单调性易求h（x）_max，转化为关于a的不等式，分离出参数m后，再求关于a的函数的最值即可；

解答 解：由题意知对任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]时，恒有ma-f（x）＞a²+lnx成立，等价于ma-a²＞[a（x²+1）+lnx]_max
令h（x）=a（x²+1）+lnx，h′（x）=2ax+$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+1}{x}$，令h′（x）=0，得x=$\sqrt{\frac{-1}{2a}}$，
当x$∈（0，\sqrt{\frac{-1}{2a}}）$时，h'（x）＞0，在x$∈（\sqrt{\frac{-1}{2a}}，+∞）$时，h'（x）＜0，
∴h（x）在（0，$\sqrt{\frac{-1}{2a}}$）上是增函数，在（$\sqrt{\frac{-1}{2a}}$，+∞）上是减函数；
因为a∈（-4，-2），所以$\sqrt{\frac{-1}{2a}}∈$（$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{1}{2}$），
当a∈（-4，-2）时，h（x）在[1，3]上是减函数，
所以h（x）_max=h（1）=2a，
所以ma-a²＞2a，即m＜a+2，
因为a∈（-4，-2），所以-2＜a+2＜0，
所以实数m的取值范围为m≤-2．
故选：C

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．．