Question

19．已知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1（a为常数）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的最大值为4，求a的值；
（3）求出f（x）的对称轴．

Answer 1

分析 （1）由题意利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．
（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值，再根据最大值为4，求得a的值．
（3）由题意利用正弦函数的图象的对称性，求得f（x）的图象的对称轴．

解答 解：（1）对于f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
可得f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）若当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，故当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）的最大值为2+a+1=4，∴a=1．
（3）令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，可得f（x）的对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z．

点评 本题主要考查正弦函数的单调性、图象的对称性，定义域和值域，属于基础题．