Question

10．已知双曲线y²-$\frac{x^2}{a^2}$=1（a＞0）的渐进线与圆（x-1）²+y²=$\frac{3}{4}$相切，则a=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据圆方程，得到圆心坐标C（1，0），圆与双曲线的渐近线相切，说明C到渐近线的距离等于半径$\frac{\sqrt{3}}{2}$，列出方程求出a的值即可．

解答 解：圆（x-1）²+y²=$\frac{3}{4}$∴圆心坐标C（1，0），圆的半径为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵双曲线y²-$\frac{x^2}{a^2}$=1的渐近线为x±ay=0，
双曲线y²-$\frac{x^2}{a^2}$=1（a＞0）的渐进线与圆（x-1）²+y²=$\frac{3}{4}$相切，
∴C到渐近线的距离为$\frac{1}{\sqrt{1+{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选：B．

点评 本题给出双曲线的渐近线与已知圆相切，点到直线的距离公式，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的简单性质等知识．