Question

4．定义向量$\overrightarrow{OM}=（{a，b}）$的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx；函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为$\overrightarrow{OM}=（{a，b}）$（其中O为坐标原点）．
（1）若$g（x）=3sin（{x+\frac{3π}{2}}）+4sinx$，求g（x）的“相伴向量”；
（2）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2）²+y²=1上一点，向量$\overrightarrow{OM}$的“相伴函数”f（x）在x=x₀处取得最大值，当点M在圆C上运动时，求tan2x₀的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用诱导公式和“相伴向量”的定义，即可得到；
（2）求得向量$\overrightarrow{OM}$的“相伴函数”f（x），求得最大值，及x₀，运用正切的二倍角公式，以及函数y=x-$\frac{1}{x}$的单调性，和m=$\frac{b}{a}$的几何意义，即可得到所求范围．

解答 解：（1）$g（x）=3sin（{x+\frac{3π}{2}}）+4sinx$=4sinx-3cosx，
其相伴向量为$\overrightarrow{OM}=（{4，-3}）$；
（2）$\overrightarrow{OM}$的相伴函数为$f（x）=asinx+bcosx=\sqrt{{a^2}+{b^2}}sin（{x+φ}）$，
其中$cosφ=\frac{a}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$，$sinφ=\frac{b}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$，
当$x+φ=2kπ+\frac{π}{2}（{k∈Z}）$时，f（x）取到最大值，
故${x_0}=2kπ+\frac{π}{2}-φ$，$tan{x_0}=tan（{2kπ+\frac{π}{2}-φ}）=\frac{1}{tanφ}=\frac{a}{b}$，
$tan2{x_0}=\frac{{2×\frac{a}{b}}}{{1-{{（{\frac{a}{b}}）}^2}}}=\frac{2}{{\frac{b}{a}-\frac{a}{b}}}$，$m=\frac{b}{a}$为直线OM的斜率，
由几何意义知$m∈[{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0}）∪（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$，
当$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤m＜0$时，$tan2{x_0}=\frac{2}{{m-\frac{1}{m}}}$单调递减，所以$0＜tan2{x_0}≤\sqrt{3}$；
当$0＜m≤\frac{{\sqrt{3}}}{3}$时，$tan2{x_0}=\frac{2}{{m-\frac{1}{m}}}$单调递减，所以$-\sqrt{3}≤tan2{x_0}＜0$，
所以$tan2{x_0}∈[{-\sqrt{3}，0}）∪（{0，\sqrt{3}}]$．

点评 本题考查新定义的理解和运用，主要考查正弦函数的值域和直线的斜率及函数y=x-$\frac{1}{x}$的单调性，属于中档题．