Question

9．在△ABC中，已知tanA=$\frac{1}{2}$，tanB=$\frac{1}{3}$，且最长边的长为5$\sqrt{5}$，求：
（1）∠C的大小；
（2）最短边的长．

Answer 1

分析 （1）由题意和两角和的正切公式求出tan（A+B）的值，由内角的范围求出A+B，由内角和定理求出角C的值；
（2）由正切函数值判断出最大边、最小边，根据同角三角函数的基本关系求出sinB的值，由正弦定理求出最短边的长．

解答 解：（1）由题意知，tanA=$\frac{1}{2}$，tanB=$\frac{1}{3}$，
则tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=1，
∵0＜A+B＜π，∴A+B=$\frac{π}{4}$，
∴∠C=π-（A+B）=$π-\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$；
（2）∴tanA=$\frac{1}{2}$＞tanB=$\frac{1}{3}$，∴B是最小角，b是最小边，
由（1）知，∠C=$\frac{3π}{4}$是最大角，则c是最大边，c=$5\sqrt{5}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{tanB=\frac{sinB}{cosB}=\frac{1}{3}}\\{si{n}^{2}B+co{s}^{2}B=1}\end{array}\right.$得，sin²B=$\frac{1}{10}$，
又B是最小角，则sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，∴b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{5\sqrt{5}×\frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=5，
则最短边的长是5．

点评 本题考查正弦定理，两角和的正切公式，边角关系，注意内角的范围，属于中档题．