Question

如图在二面角α－l－β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，MN依次是AB、PC的中点

(1)求二面角α－l－β的大小

(2)求证明：MN⊥AB

(3)求异面直线PA与MN所成角的大小

Answer 1

答案：
解析：

解： 　　(1)连PD 　　∵PA⊥α，AD⊥l 　　∴PD⊥l 　　∴∠PDA为二面角α－l－β的平面角 　　在RTΔPAD中 　　∵PA＝PD 　　∴∠PDA＝45° 　　∴二面角α－l－β为45° 　　(2)设E是DC的中点，连ME、NE 　　∵M、N、E分别为AB、PC、D的中点 　　∴ME∥AD，NE∥PD 　　∴ME⊥l，NE⊥l 　　∴l⊥平面MEN 　　∵AB∥l 　　∴AB⊥平面MEN 　　∵MNÌ 平面MNE 　　∴MN^ AB 　　(3)设Q是DP听中点，连NQ、AQ 　　则NQ∥DC，且NQ＝1/2DC 　　∵AM∥DC，且AM＝1/2AB＝1/2DC 　　∴QN∥AM，QN＝AM 　　∴QNMQ为平行四边形 　　∴AQ∥MN 　　∴∠PAQ为PA与MN所成的角 　　∵ΔPAQ为等腰直角三角形，AQ为斜边上的中线 　　∴∠PAQ＝45° 　　即PA与MN所成角的大小为45°

提示：

(1)用垂线法作二面角的平面角 　　(2)只要证明AB垂直于过MN的一个平面即可 　　(3)过点A作MN的平行线，转化为平面角求解