Question

如图，在二面角M-l-N的一个M内有Rt△ABC，其中∠A=90°，顶点B、C在二面角的棱l上，AB、AC与平面N所成的角分别为α、β，若二面角M-l-N的大小为θ，则下面的关系式中正确的是（　　）

A．sin²α+sin²β＜sin²θ

B．sin²α+sin²β=sin²θ

C．sin²α+sin²β＞sin²θ

D．sin²α+sin²β+sin²θ=1

Answer 1

分析：作AD⊥l于点D，作AE⊥平面N于点E，连结BE、CE、DE．证出∠ADE是二面角M-l-N的平面角，∠ABE、∠ACE分别为AB、AC与平面N所成的角，得∠ADE=θ、∠ABE=α且∠ACE=β．设AE=x，利用解三角形算出AB=

x

sinα

、AC=

x

sinβ

且AD=

x

sinθ

，在Rt△ABC中利用勾股定理与等积转换得到

1

AD2

=

1

AB2

+

1

AC2

，代入前面的数据化简整理即可得到
sin²α+sin²β=sin²θ，从而选出正确答案．

解答：解：作AD⊥l于点D，作AE⊥平面N于点E，连结BE、CE、DE
∵AE⊥平面N，∴DE是AD在平面N内的射影
∵AD⊥l，∴DE⊥l，
可得∠ADE就是二面角M-l-N的平面角，∠ADE=θ
又∵BE、CE分别是AB、AC在平面N的射影
∴∠ABE、∠ACE分别为AB、AC与平面N所成的角，得∠ABE=α且∠ACE=β
设AE=x，则Rt△ABE中，sinα=

AE

AB

，可得AB=

AE

sinα

=

x

sinα

同理得到AC=

x

sinβ

，AD=

x

sinθ

∵Rt△ABC中，AD为斜边BC边上的高
∴AD=

AB•AC

BC

，得

1

AD2

=

AB2+AC2

AB2•AC2

=

1

AB2

+

1

AC2

，
因此

sin2θ

x2

=

sin2α

x2

+

sin2β

x2

，化简得sin²α+sin²β=sin²θ
故选：B

点评：本题给出锐二面角，在一个半平面内有Rt△ABC，直角边AB、AC与另一个半平面所成角已知的情况下，探索这两个角与二面角大小之间的关系．着重考查了二面角的平面角的定义及求法、直线与平面所成角和解直角三角形等知识，属于中档题．