Question

如图，在二面角α－l－β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中点．

(1)求二面角α－l－β的大小．

(2)求证：MN⊥AB．

(3)求异面直线PA与MN所成角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)连结PD．∵ABCD为矩形，

　　∴AD⊥CD，即AD⊥l．

　　又PA⊥α，∴PA⊥l．

　　∵P、D∈β，则∠PDA为二面角α－l－β的平面角．

　　∵PA⊥AD，PA＝AD，∴△PAD是等腰直角三角形．

　　∴∠PDA＝45°，即二面角α－l－β的大小为45°．

　　(2)过M作ME∥AD，交CD于E，连结NE，则ME⊥CD，NE⊥CD，因此CD⊥平面MNE，∴CD⊥MN．∵AB∥CD，∴MN⊥AB．

　　(3)过N作NF∥CD，交PD于F，则F为PD的中点，连结AF，则AF为∠PAD的角平分线，

　　∴∠FAD＝45°，而AF∥MN．

　　∴异面直线PA与MN成45°角．

提示：

综合运用定理、性质可解．