Question

如图，在二面角α－l－β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中点．

(1)求二面角α－l－β的大小；

(2)求证：MN⊥AB；

(3)求异面直线PA与MN所成角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)连PD，∵ABCD为矩形，∴AD⊥DC，即AD⊥l．又PA⊥l，∴PD⊥l． 　　∵P、D∈β，则∠PDA为二面角α－l－β的平面角． 　　∵PA⊥AD，PA＝AD，∴ΔPAD是等腰直角三角形，∴∠PDA＝45°，即二面角α－l－β的大小为45°． 　　(2)过M作ME∥AD，交CD于E，连结NE，则ME⊥CD，NE⊥CD，因此，CD⊥平面MNE，∴CD⊥MN．∵AB∥CD，∴MN⊥AB 　　(3)过N作NF∥CD，交PD于F，则F为PD的中点．连结AF，则AF为∠PAD的角平线，∴∠FAD＝45°，而AF∥MN，∴异面直线PA与MN所成的45°角．