Question

已知直线l₁经过点A（-3，0），B（3，2），直线l₂经过点B，且l₁⊥l₂．
（Ⅰ）求直线

l

2

的方程；
（Ⅱ）设直线l₂与直线y=8x的交点为C，求△ABC外接圆的方程．

Answer 1

考点：圆的标准方程,直线的一般式方程与直线的垂直关系

专题：计算题,直线与圆

分析：（I）由题意算出直线l₁的斜率为

1

3

，根据l₁⊥l₂算出l₂的斜率为-3，利用点斜式方程列式即可得到

l

2

的方程；
（II）联解直线l₂与直线y=8x方程，得到交点为C（1，8），利用向量的数量积算出△ABC是AC为斜边的直角三角形，从而得出△ABC外接圆是以AC为直径的圆．再算出AC中点坐标与AC长，即可得到所求外接圆的方程．

解答： 解：（Ⅰ）直线l₁的斜率为k=

2-0

3-(-3)

=

1

3

，
∵l₁⊥l₂，∴l₂的斜率为k1=

-1

k

=-3，
又∵直线l₂经过点B（3，2），
∴l₂的方程为y-2=-3（x-3），即3x+y-11=0；
（Ⅱ）联解直线l₂与直线y=8x，得x=1，y=8．
∴直线l₂与直线y=8x的交点为C（1，8），
∵

AB

=(6，2)，

BC

=(-2，6)，
∴

AB

•

BC

=0，可得△ABC是AC为斜边的直角三角形，其外接圆以AC为直径的圆，
求得AC的中点为（-1，4），AC=

(-3-1)2+(0-8)2

=4

5

，
∴外接圆的圆心为（-1，4），半径R=2

5

，可得△ABC外接圆的方程为（x+1）²+（y-4）²=20．

点评：本题着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系、圆的标准方程和利用向量研究直线垂直等知识点，属于中档题．