Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，-1），$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+（2t²+3）$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{n}$=-k$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{t}$$\overrightarrow{b}$，k，t为正实数，若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，则k的最小值为2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根据平面向量的坐标表示与数量积运算，求出k的解析式，再利用基本不等式即可求出k的最小值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，-1），
∴$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+（2t²+3）$\overrightarrow{b}$=（1，-2t²-3），
$\overrightarrow{n}$=-k$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{t}$$\overrightarrow{b}$=（-k，-$\frac{1}{t}$）；
又$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-k+$\frac{1}{t}$（2t²+3）=0，
∴k=$\frac{1}{t}$（2t²+3）=2t+$\frac{3}{t}$≥2$\sqrt{2t•\frac{3}{t}}$=2$\sqrt{6}$，
当且仅当t=$\frac{\sqrt{6}}{2}$时“=”成立，
∴k的最小值为2$\sqrt{6}$．
故答案为：2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是基础题目．