Question

7．若数列{a_n}满足log_aa_n+1=1+log_aa_n（a＞0，a≠1），已知a为常数，且a₁+a₂+…+a₁₀₀=100，则
a₂+a₄+…+a₉₈+a₁₀₀=$\frac{100a}{1+a}$．

Answer 1

分析 由条件可得{log_aa_n}是首项为log_aa₁，公差为1的等差数列，运用等差数列的通项公式可得log_aa_n=log_aa₁+n-1，
可得a_n=a₁•a^n-1，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：由log_aa_n+1=1+log_aa_n，可得：
{log_aa_n}是首项为log_aa₁，公差为1的等差数列，
即有log_aa_n=log_aa₁+n-1，
可得a_n=a₁•a^n-1，
由a₁+a₂+…+a₁₀₀=100，可得：
$\frac{{a}_{1}（1-{a}^{100}）}{1-a}$=100，
即有a₁=$\frac{100（1-a）}{1-{a}^{100}}$，
则a₂+a₄+…+a₉₈+a₁₀₀=$\frac{{a}_{1}a（1-{a}^{100}）}{1-{a}^{2}}$=$\frac{100（1-a）}{1-{a}^{100}}$•$\frac{a（1-{a}^{100}）}{1-{a}^{2}}$
=$\frac{100a}{1+a}$．
故答案为：$\frac{100a}{1+a}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．