Question

17．在平面直角坐标系xOy中以原点O为极点以x轴为正半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）+6=0．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程；
（Ⅱ）设点P（x，y）是曲线C上任意一点，求xy的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）原方程可化为${ρ^2}-4\sqrt{2}ρ[cosθ•cos\frac{π}{4}+sinθ•sin\frac{π}{4}]+6=0$，把$\left\{\begin{array}{l}{ρ^2}={x^2}+{y^2}\\ x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入化简即可得出．
（Ⅱ）设$\frac{x-2}{{\sqrt{2}}}=cosθ$，$\frac{y-2}{{\sqrt{2}}}=sinθ$，代入化简，利用同角三角函数基本关系式、三角函数单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）原方程可化为${ρ^2}-4\sqrt{2}ρ[cosθ•cos\frac{π}{4}+sinθ•sin\frac{π}{4}]+6=0$，
即ρ²-4ρcosθ-sinθ+6=0，
∵$\left\{\begin{array}{l}{ρ^2}={x^2}+{y^2}\\ x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$，
∴x²+y²-4x-4y+6=0，即（x-2）²+（y-2）²=2．
（Ⅱ）设$\frac{x-2}{{\sqrt{2}}}=cosθ$，$\frac{y-2}{{\sqrt{2}}}=sinθ$，
则$xy=（2+\sqrt{2}cosθ）（2+\sqrt{2}sinθ）$=$4+2\sqrt{2}（sinθ+cosθ）+2sinθcosθ$，
设t=cosθ+sinθ，则$t=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，∴$t∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，
t²=1+2sinθcosθ，从而2sinθcosθ=t²-1．
∴xy=t²+2$\sqrt{2}$t+3=$（t+\sqrt{2}）^{2}$+1，
当$t=-\sqrt{2}$时，xy取得最小值1；当$t=\sqrt{2}$时，xy取得最大值9．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、同角三角函数基本关系式、三角函数单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．