Question

5．若数列{a_n}满足a₁=a₂=1，a_n+2=$\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}+2，}&{n=2k-1（k∈{N^*}）}\\{2{a_n}，}&{n=2k（k∈{N^*}）}\end{array}}$，则数列{a_n}前2n项和S_2n=2ⁿ+n²-1．

Answer 1

分析 由已知可得：n=2k-1时，a_2k+1-a_2k-1=2，为等差数列；n=2k时，a_2k+2=2a_2k，为等比数列．分组求和即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=a₂=1，a_n+2=$\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}+2，}&{n=2k-1（k∈{N^*}）}\\{2{a_n}，}&{n=2k（k∈{N^*}）}\end{array}}$，
∴n=2k-1时，a_2k+1-a_2k-1=2，为等差数列；
n=2k时，a_2k+2=2a_2k，为等比数列．
∴${S_{2n}}=（{1+3+5+…+2n-1}）+（{1+2+4+…+{2^{n-1}}}）={n^2}+{2^n}-1$．
故答案为：2ⁿ+n²-1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“分组求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．