已知数列{an}的首项为2.前n项和为Sn.且$\frac{1}{{a} {n}}$-$\frac{1}{{a} {n+1}}$=$\frac{2}{4{S} {n}-1}$(n∈N*)．(1)求a2的值,(2)设bn=$\frac{{a} {n}}{{a} {n+1}-{a} {n}}$.求数列{bn}的通项公式,(3)若am.ap.ar(m.p.r∈N*.m＜p＜r)成等比数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

14．已知数列{a_n}的首项为2，前n项和为S_n，且$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{4{S}_{n}-1}$（n∈N^*）．
（1）求a₂的值；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，求数列{b_n}的通项公式；
（3）若a_m，a_p，a_r（m，p，r∈N^*，m＜p＜r）成等比数列，试比较p²与mr的大小，并证明．

分析（1）由a₁=2，且$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{4{S}_{n}-1}$（n∈N^*）．n=1时可得：$\frac{1}{2}-\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{4×2-1}$，解得a₂．
（2）由$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{4{S}_{n}-1}$（n∈N^*），可得：4S_n-1=$\frac{2{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，当n≥2时，利用递推关系可得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=2，化为：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=1，即b_n-b_n-1=1，利用等差数列的通项公式即可得出．
（3）由（2）可得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{4n-1}{4}$，化为：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{4n+3}{4n-1}$．利用“累乘求积”可得：a_n=$\frac{8n-2}{3}$．由a_m，a_p，a_r（m，p，r∈N^*，m＜p＜r）成等比数列，可得$（\frac{8p-2}{3}）^{2}$=$\frac{8m-2}{3}$×$\frac{8r-2}{3}$，（4p-1）²=16mr-4（m+r）+1，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答解：（1）∵a₁=2，且$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{4{S}_{n}-1}$（n∈N^*）．∴$\frac{1}{2}-\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{4×2-1}$，解得a₂=$\frac{14}{3}$．
（2）由$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{4{S}_{n}-1}$（n∈N^*），可得：4S_n-1=$\frac{2{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，
当n≥2时，4S_n-1-1=$\frac{2{a}_{n-1}{a}_{n}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$，
相减可得：4a_n=$\frac{2{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$-$\frac{2{a}_{n-1}{a}_{n}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$，a_n≠0，
可得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=2，变形为$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}+{a}_{n}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=2，
化为：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=1，
∴b_n-b_n-1=1，
∴数列{b_n}是等差数列，首项为$\frac{2}{\frac{14}{3}-2}$=$\frac{3}{4}$，公差为1．
∴b_n=$\frac{3}{4}$+（n-1）=$\frac{4n-1}{4}$．
（3）由（2）可得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{4n-1}{4}$，化为：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{4n+3}{4n-1}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$×$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$×…×$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$×$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$×a₁=$\frac{4n-1}{4n-5}$×$\frac{4n-5}{4n-9}$×…×$\frac{11}{7}$×$\frac{7}{3}$×2=$\frac{8n-2}{3}$．n=1时也成立．
∴a_n=$\frac{8n-2}{3}$．
∵a_m，a_p，a_r（m，p，r∈N^*，m＜p＜r）成等比数列，
∴${a}_{p}^{2}$=a_ma_r，
∴$（\frac{8p-2}{3}）^{2}$=$\frac{8m-2}{3}$×$\frac{8r-2}{3}$，
化为：（4p-1）²=（4m-1）（4r-1），
∴（4p-1）²=16mr-4（m+r）+1≤16mr-8$\sqrt{mr}$+1=$（4\sqrt{mr}-1）^{2}$，
∴4p-1≤4$\sqrt{mr}$-1，
可得p²≤mr，等号不成立，因此p²＜mr．

点评本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、“累乘求积”方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

练习册系列答案

68所名校图书小升初高分夺冠真卷系列答案

伴你成长周周练月月测系列答案

小升初金卷导练系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

4．若z₁=a+2i，z₂²=3-4i，且$\frac{z_1}{z_2}$为纯虚数，则实数a的值为1．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

5．若数列{a_n}满足a₁=a₂=1，a_n+2=$\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}+2，}&{n=2k-1（k∈{N^*}）}\\{2{a_n}，}&{n=2k（k∈{N^*}）}\end{array}}$，则数列{a_n}前2n项和S_2n=2ⁿ+n²-1．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

2．sin523°sin943°+sin1333°sin313°=$\frac{1}{2}$．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

9．已知U={1，2，3，4}，A={1，3}，求∁_UA．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

19．解关于x的不等式mx²-（m+2）x+m+1＜0．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

6．已知两单位向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，若$\overrightarrow{c}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=3$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，试求|$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{d}$|．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

3．已知集合A的元素是由方程（a²-1）x²+2（a+1）x+1=0的实数解构成．
（1）若A为空集，求a的取值范围；
（2）若A是单元素集，求a的值；
（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

14．直线x-4y+1=0经过抛物线y=ax²的焦点，且此抛物线上存在一点P，使PA⊥PB，其中，A（0，2+m），B（0，2-m），则正数m的最小值为（　　）

A．

$\sqrt{7}$

B．

$\sqrt{5}$

C．

$\frac{\sqrt{5}}{2}$