Question

4．若z₁=a+2i，z₂²=3-4i，且$\frac{z_1}{z_2}$为纯虚数，则实数a的值为1．

Answer 1

分析 设z₂=a+bi（a，b∈R），由z₂²=a²-b²+2abi=3-4i求得a，b的值，得z₂直接把z₁，z₂代入$\frac{z_1}{z_2}$，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，由已知$\frac{z_1}{z_2}$为纯虚数，列出方程组求解即可得答案．

解答 解：设z₂=a+bi（a，b∈R），
由z₂²=a²-b²+2abi=3-4i，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}=3}\\{2ab=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=1}\end{array}\right.$．
∴z₂=2-i或z₂=-2+i．
又z₁=a+2i，
当z₂=2-i时，由$\frac{z_1}{z_2}$=$\frac{a+2i}{2-i}=\frac{（a+2i）（2+i）}{（2-i）（2+i）}=\frac{（2a-2）+（a+4）i}{5}$为纯虚数，
得2a-2=0，即a=1；
当z₂=-2+i时，由$\frac{z_1}{z_2}$=$\frac{a+2i}{-2+i}=\frac{（a+2i）（-2-i）}{（-2+i）（-2-i）}=\frac{（-2a+2）+（-a-4）i}{5}$为纯虚数；
得-2a+2=0，即a=1．
综上，实数a的值为1．
故答案为：1．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．