Question

6．已知两单位向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，若$\overrightarrow{c}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=3$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，试求|$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{d}$|．

Answer 1

分析 由已知求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，并且得到$\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$，求出$|\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}{|}^{2}$得答案．

解答 解：由题意，$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos120°=-\frac{1}{2}$，
又$\overrightarrow{c}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=3$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，∴$\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$，
则|$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{d}$|=$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）^{2}}=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{1+4×（-\frac{1}{2}）+4×1}=\sqrt{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，掌握$|\overrightarrow{a}{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}$是关键，是中档题．