Question

定义在上的函数，对于任意的m，n∈(0,＋∞)，都有成立，当x＞1时，．
(1)求证：1是函数的零点；
(2)求证：是(0,＋∞)上的减函数；
(3)当时，解不等式．

Answer 1

（3）当a＝0时,解集为；当a＞0时,解集为；
当a＜0时,解集为..

（1）赋值法，求得；（2）注意构造；
（3）由等价于，分类讨论.
解：(1)对于任意的正实数m，n都有成立，
所以令m＝n＝1，则．
∴，即1是函数f(x)的零点．                                   (3分)
(2)设0＜x₁＜x₂，则由于对任意正数，
所以，即
又当x＞1时，，而．所以.
从而，因此在(0，＋∞)上是减函数．                  (7分)
(3)根据条件有，
所以等价于．
再由是定义在(0，＋∞)上的减函数，所以0＜ax＋4＜4．即. (9分)
当a＝0时,－4＜0<0不成立，此时不等式的解集为；　　　　　　　　　(10分)
当a＞0时,－4＜ax＜0，即，此时不等式的解集为；
当a＜0时,－4＜ax＜0，即，此时不等式的解集为.(12分)