Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ （a＞0）
（1）若函数f（x）在x=2处的切线与x轴平行，求实数a的值；
（2）讨论函数f（x）在区间[1，2]上的单调性；
（3）证明： ＞e．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，（x＞0）

∵函数f（x）在x=2处的切线与x轴平行

∴f′（2）= ，解得a=

（2）解：∵ = ，（x＞0，a＞0）

令h（x）=ax2+（2a﹣2）x+a，（a＞0），△=4﹣8a

①）当△=4﹣8a≤0，即a 时，f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，此时函数f（x）在区间[1，2]上单调递增；

②当△=4﹣8a＞0，即0＜a 时，抛物线y=ax2+（2a﹣2）x+a的图象如下，与横轴交点横坐标为x1= ，x2=

h（1）=4a﹣2＜0，h（2）=9a﹣4

当h（2）=9a﹣4≤0，即0 时，h（x）≤0在（1，2）上恒成立，∴f′（x）≤0在（1，2）上恒成立，此时函数f（x）在区间[1，2]上单调递减

当h（2）=9a﹣4＜0，即 时，h（x）≤0在（1，x2）上恒成立，h（x）≥0在（x2，2）上恒成立，此时函数f（x）在区间[1， ]上单调递减

，在（ ，2）上单调递增

（3）证明：由（2）可知，当a=0.5时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增；即lnx 在区间[1，2]上恒成立．

令x=1+ ，（n∈N+），则有ln（1+ ）＞

（n+0.5）ln ＞1ln（ ）n+0.5＞1 ，

令n=2017，可得 ＞e

【解析】（1） ，（x＞0）由f′（2）= ，解得a（2） = ，（x＞0，a＞0），令h（x）=ax2+（2a﹣2）x+a，（a＞0），△=4﹣8a，分①）当△=4﹣8a≤0，即a 时，②当△=4﹣8a＞0，即0＜a 讨论；（3）由（2）可知，当a=0.5时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增；即lnx 在区间[1，2]上恒成立，令x=1+ ，（n∈N+），则有ln（1+ ）＞ （n+0.5）ln ＞1ln（ ）n+0.5＞1 ，令n=2017，可得 ＞e．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．