Question

已知数列的前项和为，且，N*

（1）求数列的通项公式；

（2）已知（N*），记（且），是否存在这样的常数，使得数列是常数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

（3）若数列，对于任意的正整数，均有成立，求证：数列是等差数列；

Answer 1

（1） （）;（2） ;（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）由题意可知，所以，由得时，，两式相减得， ，数列是以2为首项，公比为的等比数列，即可求出结果；（2）由于数列是常数列，所以=为常数，

故，只有,解得,即可求出结果；（3）, ，，其中，所以 当时，采用错位相减即可求出结果.

试题解析：【解析】
（1），所以1分

由得时，2分

两式相减得，，，3分

数列是以2为首项，公比为的等比数列，所以（）5分

（2）由于数列是常数列

=6分

为常数7分

只有,8分；解得,9分

此时10分

（3）①

，，其中，所以11分

当时，②12分

②式两边同时乘以得，③13分

①式减去③得，，所以14分

且15分

所以数列是以为首项，公差为的等差数列。16分.

考点：1.数列的递推关系；2.等比数列的性质；2.数列求和,