Question

（2012•肇庆一模）已知四棱锥P-ABCD如图1所示，其三视图如图2所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形．
（1）求此四棱锥的体积；
（2）若E是PD的中点，求证：AE⊥平面PCD；
（3）在（2）的条件下，若F是PC的中点，证明：直线AE和直线BF既不平行也不异面．

Answer 1

分析：（1）由三视图可知：PA⊥底面ABCD，PA=2，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，据此即可得出四棱锥的体积；
（2）由三视图可知，PA⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可得：CD⊥PA；利用ABCD是正方形，可得CD⊥AD，利用线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，再利用其性质可得CD⊥AE，利用等腰三角形的性质可得AE⊥PD，再利用线面垂直的判定即可证明；
（3）利用三角形的中位线定理可得：EF∥CD且EF=

1

2

CD，进而得到EF∥AB且EF=

1

2

AB，据此得到：四边形ABFE是梯形，AE，BF是梯形的两腰，故AE与BF所在的直线必相交．

解答：（1）解：由题意可知，PA⊥底面ABCD，
四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，其面积S_ABCD=2×2=4，高h=2，
所以VP-ABCD=

1

3

SABCD•h=

1

3

×4×2=

8

3

．
（2）证明：由三视图可知，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，
∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
又PA∩AD=A，PA?平面ABCD，AD?平面ABCD
∴CD⊥平面PAD，
∵AE?平面PAD，∴AE⊥CD，
又△PAD是等腰直角三角形，E为PD的中点，
∴AE⊥PD，
又PD∩CD=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AE⊥平面PCD．
（3）证明：∵E，F分别是PD，PC的中点，∴EF∥CD且EF=

1

2

CD
又∵CD∥AB且CD=AB，∴EF∥AB且EF=

1

2

AB，
∴四边形ABFE是梯形，AE，BF是梯形的两腰，故AE与BF所在的直线必相交．
所以，直线AE和直线BF既不平行也不异面．

点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、线面平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理、梯形的性质、等腰三角形的性质、四棱锥的体积等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．