Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=n²+pn，n∈N^*，其中p是实数．
（1）若数列{

Sn

}为等差数列，求p的值；
（2）若对于任意的m∈N^*，a_m，a_2m，a_4m成等比数列，求p的值；
（3）在（2）的条件下，令b₁=a₁，b_n=a2n-1，其前n项和为T_n，求T_n关于n的表达式．

Answer 1

分析：（1）由题意S_n=n²+pn，n∈N^*，要使数列{

Sn

}为等差数列，根据等差数列的性质

Sn

=an+b，从而求出p值；
（2）由题意a_m，a_2m，a_4m成等比数列，根据等比数列的性质，得出关于m的等式，从而求出p值；
（3）由（2）p=1代入S_n=n²+pn，利用递推法进行求解出a_n的通项公式，然后凑成等比数列，然后利用等比数列的求和公式进行求解；

解答：解：（1）数列{

Sn

}成等差数列的充要条件是

Sn

=an+b
即n²+pn=a²n²+2abn+b²恒成立  …（3分）
∴

a2=1 2ab=p b2=0

由此得p=0
事实上p=0时，

Sn

=

n2

=n符合题意
∴数列{

Sn

}成等差数列的充要条件是：p=0
（2）∵S_n=n²+pn
∴a₁=1+p
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+pn-[（n-1）²+p（n-1）]=2n+p-1
满足a₁=1+p
∴a_n=2n+p-1（n∈N^*）…（9分）
由a_m，a_2m，a_4m成等比数列，得
（4m+p-1）²=（2m+p-1）（8m+p-1）
化简得：2m（p-1）=0
∵m∈N^*
∴p=1
又当p=1时，a_m≠0，a_2m≠0，a_4m≠0
∴p=1即为所求的值，
（3）∵S_n=n²+pn，n∈N，递推下一项S_n-1=（n-1）²+n-1，
∴S_n-S_n-1=a_n，
∴a_n=2n，
∴b_n=a2n-1=2ⁿ⁺¹-2，b₁=2，
∴b_n+2=2ⁿ⁺¹，对其进行累加，
∴T_n+2n=

4(1-2n+1)

1-2

，
∴T_n=2ⁿ⁺³-2n-4；

点评：此题主要考查数列的递推公式和等比数列及其前n项和公式，还考查了等差数列，难度系数一般，是一道中档题，也是高考的热点问题．