Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，Sn=λa_n-1（λ为常数，n=1，2，3，…）．
（I）若a₃=a₂²，求λ的值；
（II）是否存在实数λ，使得数列{a_n}是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在．请说明理由
（III）当λ=2时，若数列{b_n}满足b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，3，…），且b₁=

3

2

，令cn=

an

(an+1) bn

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）利用S_n=λa_n-1，通过n=1，2，3，求出a₁，a₂，a₃，利用a₃=a₂²，即可求λ的值；
（II）通过反证法，假设存在实数λ，使得数列{a_n}是等差数列，则2a₂=a₁+a₃，推出矛盾，所以不存在实数λ，使得数列{a_n}是等差数列．
（III）当λ=2时，求出数列{a_n}、数列{b_n}的通项公式，通过cn=

an

(an+1) bn

，化简裂项，然后求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（I）因为S_n=λa_n-1，
所以a₁=λa₁-1，a₂+a₁=λa₂-1，a₃+a₂+a₁=λa₃-1，
由a₁=λa₁-1可知λ≠1，
所以a₁=

1

λ-1

，a₂=

λ

(λ-1)2

，a₃=

λ2

(λ-1)3

，
因为a₃=a₂²，
所以

λ2

(λ-1)4

=

λ2

(λ-1)3

，
所以λ=0或λ=2．
（II）假设存在实数λ，使得数列{a_n}是等差数列，则2a₂=a₁+a₃，
由（I）可知，

2 λ

(λ-1)2

=

1

λ-1

+

λ2

(λ-1)3

，
所以

2 λ

(λ-1)2

=

2λ2-2λ+1

(λ-1)3

，即1=0，矛盾，
所以不存在实数λ，使得数列{a_n}是等差数列．
（III）当λ=2时，S_n=2a_n-1，
所以S_n-1=2a_n-1-1，且a₁=1，
所以a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1  （n≥2）．
所以a_n≠0（n∈N^*），且

an

an-1

=2（n≥2）．
所以数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以a_n=2a^n-1（n∈N^*），
因为b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，3，…），且b₁=

3

2

，
所以b_n=a_n-1+b_n-1=a_n-1+a_n-2+b_n-2=…=a_n-1+a_n-2+…+a₁+b₁
=

2n+1

2

  n≥ 2．
当n=1时上式也成立．
所以b_n=

2n+1

2

    n∈N*．
因为cn=

an

(an+1)bn

，
所以cn=

2n-1

(2n-1+1)  2n+1 2

=

2•2n-1

(2n-1+1) (2n+)

因为

2n-1

(2n-1+1)(2n+1)

=

1

2n-1+1

-

1

2n+1

，
所以T_n=C₁+C₂+…+C_n
=2(

1

2

-

1

2+1

+

1

2+1

-

1

22+1

+…+

1

2n-1+1

-

1

2n+1

)
=1-

2

2n+1

=

2n-1

2n+1

．

点评：本题根据已知条件求出数列递推关系式中的变量，考查数列通项公式的求法，考查数列求和裂项法的应用，考查计算能力，转化思想，注意题目的隐含条件的应用．