Question

设S_n为数列{a_n}的前N项和，且有S₁=a，S_n+S_n-1=3n²，n=2，3，4，…
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{a_n}是单调递增数列，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据S_n+S_n-1=3n²，则S_n+1+S_n=3（n+1）²，两式作差，再递推作差可得数列{a_2k}和{a_2k+1}分别是以a₂，a₃为首项，6为公差的等差数列，从而可求出通项；
（Ⅱ）根据数列{a_n}是单调递增数列，则a₁＜a₂且a_2k＜a_2k+1＜a_2k+2对任意的k∈N^*成立，从而可建立关于a的不等式，解之即可求出a的取值范围．

解答：解（Ⅰ）当n≥2时，由已知S_n+S_n-1=3n² …①
于是S_n+1+S_n=3（n+1）² …②
由②-①得a_n+1+a_n=6n+3…③
于是a_n+2+a_n+1=6n+9 …④
由④-③得a_n+2-a_n=6…⑤
上式表明：数列{a_2k}和{a_2k+1}分别是以a₂，a₃为首项，6为公差的等差数列．
又由①有S₂+S₁=12，∴a₂=12-2a，
由③有a₃+a₂=15，a₄+a₃=21，∴a₃=3+2a，a₄=18-2a，
∴a_2k=a₂+6（k-1）=12-2a+6（k-1）（k∈N^*），
a₁=a，a_2k+1=a₃+6（k-1）=3+2a+6（k-1）（k∈N^*），
（Ⅱ）∵数列{a_n}是单调递增数列，
∴a₁＜a₂且a_2k＜a_2k+1＜a_2k+2对任意的k∈N^*成立，
∴a₁＜a₂且a₂+6（k-1）＜a₃+6（k-1）＜a₄+6（k-1），
∴a₁＜a₂＜a₃＜a₄，则a＜12-2a＜3+2a＜18-2a，
解得：

9

4

＜a＜

15

4

．
∴a的取值范围是

9

4

＜a＜

15

4

．

点评：本题主要考查了数列的递推关系，以及数列的单调性，同时考查了运算求解能力，推理论证能力，考查化归与转化思想．综合性强，难度大，属于难题．