Question

1．已知抛物线y²=8x，点Q在圆C：x²+y²+2x-8y+13=0上，记抛物线上任意一点P到直线x=-2的距离为d，则d+|PQ|的最小值等于3．

Answer 1

分析 圆C：x²+y²+2x-8y+13=0，以C（-1，4）为圆心，半径等于2，抛物线y²=8x的准线为l：x=-2，焦点为F（2，0），当P，Q，F三点共线时，P到点Q的距离d与点P到抛物线的焦点距离|PQ|之和最小，从而d+|PQ|的最小值为|FC|-r．

解答 解：如图所示，由题意，知抛物线y²=8x的焦点为F（2，0），连接PF，则d=|PF|．
圆C的方程配方，得（x+1）²+（y-4）²=4，圆心为C（-1，4），半径r=2．
d+|PQ|=|PF|+|PQ|，显然，|PF|+|PQ|≥|FQ|（当且仅当F，P，Q三点共线时取等号）．
而|FQ|为圆C上的动点Q到定点F的距离，
显然当F，Q，C三点共线时取得最小值，
最小值为|CF|-r=$\sqrt{（-1-2）^{2}+（4-0）^{2}}$-2=5-2=3．
故答案为：3．

点评 本题考查线段和的最小值的求法，考查抛物线的定义，是中档题，正确转化是关键．