Question

12．已知数列{a_n}的首项${a_1}=\frac{3}{5}，{a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}}}{{2{a_n}+1}}（n∈{N^*}）$，{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求证：数列$\left\{{\frac{1}{a_n}-1}\right\}$是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：对任意的$x＞0，{a_n}≥\frac{1}{1+x}-\frac{1}{{{{（1+x）}^2}}}（\frac{2}{3^n}-x），n∈{N^*}$．
（3）证明：${S_n}＞\frac{n^2}{n+1}$．

Answer 1

分析 （1）通过对${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}}}{{2{a_n}+1}}$取倒数、整理得数列$\left\{{\frac{1}{a_n}-1}\right\}$是首项为$\frac{2}{3}$、公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，进而可得通项公式；
（2）通过令t=1+x，利用配方法即得结论；
（3）通过（2）可知${S_n}≥\frac{n}{1+x}-\frac{1}{{{{（1+x）}^2}}}（\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+…+\frac{2}{3^n}-nx）$对任意的x＞0恒成立，取$x=\frac{1}{n}（\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+…+\frac{2}{3^n}）$代入上式、放缩即得结论．

解答 证明：（1）通过对${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}}}{{2{a_n}+1}}$取倒数，
整理得：$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-1=\frac{1}{3}（\frac{1}{a_n}-1）$，
又∵a₁=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{1}{a_1}-1=\frac{2}{3}≠0$，
∴数列$\left\{{\frac{1}{a_n}-1}\right\}$是首项为$\frac{2}{3}$、公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴${a_n}=\frac{3^n}{{{3^n}+2}}$；
（2）令t=1+x，则：
$\frac{1}{1+x}-\frac{1}{{{{（1+x）}^2}}}（\frac{2}{3^n}-x）=-（\frac{{2+{3^n}}}{3^n}）\frac{1}{t^2}+\frac{2}{t}=-\frac{1}{a_n}•\frac{1}{t^2}+\frac{2}{t}$
=$-\frac{1}{a_n}{（\frac{1}{t}-{a_n}）^2}+{a_n}≤{a_n}$；
（3）由（2）得，${S_n}≥\frac{n}{1+x}-\frac{1}{{{{（1+x）}^2}}}（\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+…+\frac{2}{3^n}-nx）$对任意的x＞0恒成立，
取$x=\frac{1}{n}（\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+…+\frac{2}{3^n}）$，代入上式，
得：${S_n}≥\frac{n}{{1+\frac{1}{n}（1-\frac{1}{3^n}）}}＞\frac{n}{{1+\frac{1}{n}}}=\frac{n^2}{n+1}$．

点评 本题考查等比数列的判定、数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．