Question

若不等式（x+y）（

a

x

+

4

y

）≥16对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：不等式（x+y）（

a

x

+

4

y

）≥16对任意正实数x、y恒成立，可知：16≤[(x+y)(

a

x

+

4

y

)]min．令f（x）=（x+y）（

a

x

+

4

y

），（a＞0）．利用基本不等式即可得出其最小值．

解答： 解：∵不等式（x+y）（

a

x

+

4

y

）≥16对任意正实数x、y恒成立，
∴16≤[(x+y)(

a

x

+

4

y

)]min．
令f（x）=（x+y）（

a

x

+

4

y

），（a＞0）．
则f（x）=a+4+

ay

x

+

4x

y

≥a+4+2

ay x • 4x y

=a+4+4

a

．当且仅当

x

y

=

a

2

取等号．
∴a+4

a

+4=16，解得a=4．
因此正实数a的最小值为4．
故答案为：4．

点评：本题考查了恒成立问题的等价转化、基本不等式的应用，属于中档题．