【题目】已知函数 是自然对数的底数,
.
(1)求函数 的单调递增区间;
(2)若 为整数,
,且当
时,
恒成立,其中
为
的导函数,求
的最大值.
【答案】
(1)解: .
若 ,则
恒成立,所以,
在区间
上单调递增
若 ,当
时,
,
在
上单调递增.
综上,当 时,
的增区间为
;当
时,
的增区间为
(2)解:由于 ,所以,
当 时,
,故
————①
令 ,则
函数 在
上单调递增,而
所以 在
上存在唯一的零点,
故 在
上存在唯一的零点.
设此零点为 ,则
.
当 时,
;当
时,
;
所以, 在
上的最小值为
.由
可得
所以, 由于①式等价于
.
故整数 的最大值为2.
【解析】(1)根据题意求出导函数讨论a的取值范围即可得出函数的增区间。(2)由已知运用参数分离可得求出导函数利用导函数的性质即可得到原函数的单调区间,再运用零点存在定理即可求得k的最大值。
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值才能正确解答此题.
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【题目】某校有教师400人,对他们进行年龄状况和学历的调查,其结果如下:
学历 | 35岁以下 | 35-55岁 | 55岁及以上 |
本科 | 60 | 40 | |
硕士 | 80 | 40 |
(1)若随机抽取一人,年龄是35岁以下的概率为,求
;
(2)在35-55岁年龄段的教师中,按学历状况用分层抽样的方法,抽取一个样本容量为5的样本,然后在这5名教师中任选2人,求两人中至多有1人的学历为本科的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费,超过两个小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人独立来该租车点骑游(各组一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 ,
;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为
,
;两人租车时间都不会超过四小时.
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ,求
的分布列.
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【题目】某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动,有甲、乙两个抽奖方案供员工选择;
方案甲:员工最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率为 .第一次抽奖,若未中奖,则抽奖结束.若中奖,则通过抛一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖,规定:若抛出硬币,反面朝上,员工则获得500元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,员工则须进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,若中奖,获得奖金1000元;若未中奖,则所获奖金为0元.
方案乙:员工连续三次抽奖,每次中奖率均为 ,每次中奖均可获奖金400元.
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 (元)的分布列;
(2)某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖,试比较哪个方案更划算?
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为
,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,M为椭圆上除长轴端点外的任意一点,且△MF1F2的周长为4+2
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点D(0,﹣2)作直线l与椭圆C交于A、B两点,点N满足 (O为原点),求四边形OANB面积的最大值,并求此时直线l的方程.
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【题目】
已知函数,其中
,记函数
的定义域为
.
(1)求函数的定义域
;
(2)若函数的最大值为
,求
的值;
(3)若对于内的任意实数
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知数列的前n项和为
,且满足
+n=2
(n∈
)
(1)证明:数列为等比数列,并求数列
的通项公式;
(2)数列满足
(n∈
),其前n项和为
,试求满足
+
>2018的最小正整数n.
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