Question

4．已知函数f（x）=ax²+$\frac{1}{x}{\;}$（a∈R）．
（1）判断f（x）奇偶性；
（2）当f（x）在（1，+∞）递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性的定义即可判断，需要分类讨论a的取值范围对f（x）的奇偶性的影响；
（2）根据f（x）在（1，+∞）递增，由导数知识可以得知答案．

解答 解：（1）①当a=0时，f（x）=$\frac{1}{x}{\;}$，显然为奇函数，
②当a≠0时，∵f（1）=a+1，f（-1）=a-1，可得f（1）≠f（-1），且f（1）+f（-1）≠0，
∴f（x）为非奇非偶函数．
（2）对f（x）进行求导，可得f′（x）=$\frac{2a{x}^{3}-1}{{x}^{2}}$，
∵f（x）在（1，+∞）递增，即f′（x）≥0对x∈（1，+∞）恒成立，
∴2ax³-1≥0对x∈（1，+∞）恒成立，
∴2a$≥\frac{1}{{x}^{3}}$，x∈（1，+∞），
∴2a≥1，
∴a≥$\frac{1}{2}$，
即a∈[$\frac{1}{2}$，+∞）．
故a的取值范围为[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的奇偶性和单调性，考查学生的灵活转化问题的能力，运用导数将题目条件f（x）在（1，+∞）递增转化为f′（x）≥0对x∈（1，+∞）恒成立，即可得出答案，属于中档题．