Question

如图所示，在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H分别是BC、CC₁、C₁D₁、A₁A的中点.求证：

（1）BF∥HD₁；

（2）EG∥平面BB₁D₁D；

（3）平面BDF∥平面B₁D₁H.

Answer 1

证明略

解析:

 （1）如图所示，取BB₁的中点M，易证四边形HMC₁D₁是平行四边形，∴HD₁∥MC₁.

又∵MC₁∥BF，∴BF∥HD₁.

（2）取BD的中点O，连接EO，D₁O，

则OE   DC，

又D₁G  DC，∴OE?? D₁G，

∴四边形OEGD₁是平行四边形，

∴GE∥D₁O.

又D₁O平面BB₁D₁D，∴EG∥平面BB₁D₁D.

（3）由（1）知D₁H∥BF，又BD∥B₁D₁，B₁D₁、HD₁平面HB₁D₁，BF、BD平面BDF，且B₁D₁∩HD₁=D₁，

DB∩BF=B，∴平面BDF∥平面B₁D₁H.