Question

8．若不等式|x-2|+|x-3|＜3的解集是（a，b），则$\int_a^b{（\sqrt{x}-1）dx=}$（　　）

• A． $\frac{7}{3}$
• B． $\frac{10}{3}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 先求解不等式得其解集，然后借助于微积分基本定理求解定积分．

解答 解：|x-2|+|x-3表示数轴上的x对应点到2、3对应点的距离之和，
而1和4对应点到2、3对应点的距离之和正好等于3，
故|x-2|+|x-3|＜3的解集是{x|1＜x＜4}，
∴a=1，b=4，则$\int_a^b{（\sqrt{x}-1）dx=}$${∫}_{1}^{4}$（$\sqrt{x}$-1）dx=（$\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}$-x）|${\;}_{1}^{4}$=（$\frac{16}{3}$-4）-（$\frac{2}{3}$-1）=$\frac{5}{3}$，
故选：C

点评 本题考查了不等式的解法及定积分的求法，解答的关键是找出被积函数的原函数，属中档题．