Question

已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，A点变为A′点．给出下列判断：①A′C⊥BD；②A′D⊥CO；③△A′OC为正三角形；④cos∠A′DC=；⑤A′到平面BCD的距离为．其中正确判断的个数为

1. A.
   2
2. B.
   3
3. C.
   4
4. D.
   5

Answer 1

C
分析：折起后A到A′，知∠A′OC即为二面角A′-BD-C的平面角，即∠A′OC=60°，且A′O=OC．△A′OC为正三角形；由BD⊥平面A′OC，知BD⊥A′C；在△A′DC中，A′D=DC=4，
A′C=A′O=2，由余弦定理知cos∠A′DC=；正△A′OC的边OC上的高为A′到平面BCD的距离为．
解答：解：如图所示，正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角后，A点变为A′点，
∴∠A′OC即为二面角A′-BD-C的平面角，即∠A′OC=60°，
∵A′O=OC，∴△A′OC为正三角形，故③正确；
∵BD⊥平面A′OC，故BD⊥A′C，即①正确；
在△A′DC中，A′D=DC=4，A′C=A′O=2，
由余弦定理知cos∠A′DC=，故④正确；
正△A′OC的边OC上的高为A′到平面BCD的距离为．⑤正确，而②不正确；
∴正确的判断有4个．
答案：C
点评：本题考查空间点、线、面的间的距离计算，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．