Question

14．已知a，b，c是△ABC的三边，a=4，b∈（4，6），sin2A=sinC，则c的取值范围为（$4\sqrt{2}$，2$\sqrt{10}$）．

Answer 1

分析 由已知条件结合正弦定理可求出cosA，再由余弦定理得c²=16+4b，由已知b的范围，结合不等式即可求出c的取值范围．

解答 解：在△ABC中，∵sin2A=sinC，
∴2sinAcosA=sinC．
由正弦定理sinA=$\frac{a}{2R}$，sinC=$\frac{c}{2R}$，
得2acosA=c．
∵a=4，∴cosA=$\frac{c}{8}$．
由余弦定理得$cosA=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{c}{8}$，整理得c²=16+4b．
∵4＜b＜6，∴16＜4b＜24，
∴32＜16+4b＜40，
∴32＜c²＜40，
∴$4\sqrt{2}＜c＜2\sqrt{10}$．
故答案为：（$4\sqrt{2}$，2$\sqrt{10}$）．

点评 本题考查了正弦定理以及余弦定理的应用，考查了不等式的解法，是中档题．