Question

已知函数f(x)=

2-( 1 3 )x，x≤0 1 2 x2-x+1，x＞0

．
（1）写出该函数的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-m恰有3个不同零点，求实数m的取值范围；
（3）若f（x）≤n²-2bn+1对所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求实数n的取值范围．

Answer 1

分析：（1）x≤0的图象部分可由图象变换作出；x＞0的部分为抛物线的一部分．
（2）数形结合法：转化为直线y=m与函数f（x）的图象有三个交点．
（3）将f （x）≤n²-2bn+1对所有x∈[-1，1]恒成立，转化为[f（x）]_max≤n²-2bn+1即n²-2bn≥0在b∈[-1，1]恒成立，从而建立关于n的不等关系，求出n的取值范围．

解答：解：（1）函数f（x）的图象如右图；
函数f（x）的单调递减区间是（0，1）单调增区间是（-∞，0）及（1，+∞）…（3分）
（2）作出直线y=m，
函数g（x）=f（x）-m恰有3个不同零点等价于函数y=m
与函数f（x）的图象恰有三个不同公共点．
由函数f(x)=

2-( 1 3 )x，x≤0 1 2 x2-x+1，x＞0

又f（0）=1 f（1）=

1

2

∴m∈(

1

2

，1)…（6分）
（3）∵f （x）≤n²-2bn+1对所有x∈[-1，1]恒成立
∴[f（x）]_max≤n²-2bn+1，[f（x）]_max=f（1）=1
∴n²-2bn+1≥1即n²-2bn≥0在b∈[-1，1]恒成立
∴y=-2nb+n²在b∈[-1，1]恒大于等于0                …（9分）
∴

-2n×(-1)+n2≥0 -2n×1+n2≥0

，∴

n≥0或n≤-2 n≤0或n≥2

∴n的取值范围是（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）…（12分）

点评：本题考查了函数图象的作法、函数的单调性及函数零点问题，本题的解决过程充分体现了数形结合思想的作用．