Question

18．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE、DF、EF折起，使A、B、C三点重合于点A′．
（1）求三棱锥A′-EFD的体积；
（2）求直线A′D与平面DEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据A′D，A′E，A′F两两垂直可得A′E⊥平面A′DF，故而V_{棱锥A′-EFD}=V_{棱锥E-A′DF}=$\frac{1}{3}{S}_{△A′DF}•A′E$；
（2）过A′作A′O⊥平面DEF，连结DO，则∠A′DO为直线A′D与平面DEF所成的角，利用等体积法求出A′O，即可得出∠A′DO的正弦值．

解答 解：（1）∵A′E⊥A′D，A′E⊥A′F，A′D?平面A′DF，A′F?平面A′DF，
∴A′E⊥平面A′DF，
∵A′E=1，A′D=2，A′F=1，
∴V_{棱锥A′-EFD}=V_{棱锥E-A′DF}=$\frac{1}{3}{S}_{△A′DF}•A′E$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×1$=$\frac{1}{3}$．
（2）过A′作A′O⊥平面DEF，连结DO，则∠A′DO为直线A′D与平面DEF所成的角．
∵S_△DEF=S_{正方形ABCD}-S_△ADE-S_△BEF-S_△CDF=2×2-$\frac{1}{2}×1×2$-$\frac{1}{2}×1×1$-$\frac{1}{2}×1×2$=$\frac{3}{2}$，
∴V_{棱锥A′-DEF}=$\frac{1}{3}{S}_{△DEF}•A′O$=$\frac{1}{2}$A′O=$\frac{1}{3}$，
∴A′O=$\frac{2}{3}$，
∴sin∠A′DO=$\frac{A′O}{A′D}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，线面角的计算，属于中档题．