Question

6．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求直线A₁D和平面ADC₁B₁所成的角

Answer 1

分析 取AB₁中点O，连结A₁O，OD，则可证明A₁O⊥平面ADC₁B₁．于是∠A₁DO为直线A₁D和平面ADC₁B₁所成的角．设正方体边长为1，求出A₁O和A₁D即可求出线面角的大小．

解答 解：取AB₁中点O，连结A₁O，OD，
∵A₁A=A₁B₁，∴A₁O⊥AB₁，
∵AD⊥平面ABB₁A₁，A₁O?平面ABB₁A₁，
∴AD⊥A₁O，
又AD?平面ADC₁B₁，AB₁?平面ADC₁B₁，AD∩AB₁=A，
∴A₁O⊥平面平面ADC₁B₁．
∴∠A₁DO为直线A₁D和平面ADC₁B₁所成的角．
设正方体边长为1，则A₁O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A₁D=$\sqrt{2}$，
∴sin∠A₁DO=$\frac{{A}_{1}O}{{A}_{1}D}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A₁DO=30°，即直线A₁D和平面ADC₁B₁所成的角为30°．

点评 本题考查了线面角的作法与计算，构造平面的垂线是寻找线面角的前提，属于中档题．