Question

16．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-cos²x．
（1）求f（x）的最小正周期及x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]时f（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，其中角C满足f（C+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}-2}{4}$，若S_△ABC=$\sqrt{3}$，c=2，求a，b（a＞b）的值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式、和差公式可得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$．可得T=$\frac{2π}{2}$，由x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]，可得2x∈$[\frac{π}{6}，\frac{4π}{3}]$，sin2x∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，即可得出f（x）的值域．
（2）f（C+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}-2}{4}$，可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2C+$\frac{π}{2}$）-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-2}{4}$．化为cos2C=$\frac{1}{2}$，解得C．又S_△ABC=$\sqrt{3}$，c=2，可得$\frac{1}{2}ab$sinC=$\sqrt{3}$，4=a²+b²-2abcosC，a＞b，解出即可得出．

解答 解：（1）f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x$-$\frac{1+cos2x}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$．
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
∵x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]，2x∈$[\frac{π}{6}，\frac{4π}{3}]$，sin2x∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，∴f（x）的值域为$[-\frac{5}{4}，\frac{\sqrt{3}-1}{2}]$．
（2）f（C+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}-2}{4}$，∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2C+$\frac{π}{2}$）-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-2}{4}$．
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2C-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-2}{4}$，∴cos2C=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），∴C=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．
sinC=$\frac{1}{2}$．
又S_△ABC=$\sqrt{3}$，c=2，
∴$\frac{1}{2}ab$sinC=$\sqrt{3}$，4=a²+b²-2abcosC，
∴ab=4$\sqrt{3}$，4=a²+b²-2ab×$（±\frac{\sqrt{3}}{2}）$，又a＞b，
解得a=2$\sqrt{3}$，b=2．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、三角形面积计算公式与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．