Question

10．双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，A，B是C左支上两点且$\overrightarrow{A{F_1}}=3\overrightarrow{{F_1}B}$，∠ABF₂=90°，则双曲线C的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 设$|{\overrightarrow{{F_1}B}}|=x$，则$|{\overrightarrow{A{F_1}}}|=3x$，在Rt△ABF₂中，由勾股定理解得x=a，在Rt△F₁BF₂中，x²+（2a+x）²=（2c）²，将x=a即可求出离心率．

解答 解：设$|{\overrightarrow{{F_1}B}}|=x$，则$|{\overrightarrow{A{F_1}}}|=3x$，在Rt△ABF₂中，|AB|=4x，|BF₂|=2a+x，|AF₂|=2a+3x，
由勾股定理得（4x）²+（2a+x）²=（2a+3x）²，解得x=a，
在Rt△F₁BF₂中，x²+（2a+x）²=（2c）²，将x=a代入得10a²=4c²，
即$e=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．