Question

19．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥平面AB₁C₁，AA₁=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥A-A₁B₁C₁的体积为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接B1C，则${V}_{A-B{B}_{1}C}={V}_{A-{B}_{1}{C}_{1}C}$，又${V}_{A-B{B}_{1}C}={V}_{{B}_{1}-ABC}$=${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，${V}_{ABC}-{V}_{{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=3${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，由此能求出三棱锥A-A₁B₁C₁的体积．

解答 解：连接B1C，则${V}_{A-B{B}_{1}C}={V}_{A-{B}_{1}{C}_{1}C}$，
又${V}_{A-B{B}_{1}C}={V}_{{B}_{1}-ABC}$=${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，
∴${V}_{ABC}-{V}_{{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=3${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，
∵AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，
底面△ABC是边长为2的正三角形，∴三棱锥A-A₁B₁C₁的体积为：
${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=3×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-1}×1$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．