Question

14．已知P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上的一个点，M，N分别为圆（x+3）²+y²=1和圆（x-3）²+y²=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为7．

Answer 1

分析 由椭圆的定义：|PF₁|+|PF₂|=2a=10．圆（x+3）²+y²=1和圆（x-3）²+y²=4上的圆心和半径分别为F₁（-3，0），r₁=1；F₂（3，0），r₂=2．由|PM|+r₁≥|PF₁|，|PN|+r₂≥|PF₂|．|PM|+|PN|≥|PF₁|+|PF₂|-1-2=7．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1焦点在x轴上，a=5，b=4，c=3，
∴焦点分别为：F₁（-3，0），F₂（3，0）．
|PF₁|+|PF₂|=2a=10．
圆（x+3）²+y²=1的圆心与半径分别为：F₁（-3，0），r₁=1；
圆（x-3）²+y²=4的圆心与半径分别为：F₂（3，0），r₂=2．
∵|PM|+r₁≥|PF₁|，|PN|+r₂≥|PF₂|．
∴|PM|+|PN|≥|PF₁|+|PF₂|-1-2=7．
故答案为：7．

点评 本题考查椭圆的定义，考查椭圆及圆的标准方程的应用，考查计算能力，属于基础题．