Question

已知函数f（x）=x（x-a）（x-b）（a，b∈R），函数f（x）的导函数f′（x）．
（Ⅰ）若a=b=1，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若b=0，不等式2xlnx≤f′（x）+4ax+1对于任意的正数x都成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若0＜a＜b，a+b＜2

3

，且函数f（x）在x=s和x=t处取得极值，试证明：对于曲线上的点A（s，f（s）），B（t，f（t）），向量

OA

与

OB

不可能垂直（O为坐标原点）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f（x）的导函数，令导函数大于0列出不等式，求出不等式的解集即为函数的递增区间；
（Ⅱ）分离出参数a后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域；
（Ⅲ）用反证法来处理．

解答：解：（Ⅰ）当a=b=1时，函数f（x）=x（x-1）²=x³-2x²+x，∴f'（x）=3x²-4x+1
由f′（x）＞0，即3x²-4x+1＞0，解得x＜

1

3

或x＞1
故函数f（x）的单调递增区间为(-∞，

1

3

)和（1，+∞）；
 （Ⅱ）依题意：当b=0时，f′（x）=3x²-2ax
由于不等式2xlnx≤f′（x）+4ax+1对于任意的正数x都成立，则a≥

2xlnx-3x2-1

2x

恒成立．
令h(x)=

2xlnx-3x2-1

2x

，则h′(x)=

2x-3x2-1

2x2

，
由h′（x）=0，得x=1，则函数h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
则h（x）在x=1处取得极大值，也是最大值，且最大值为h（1）=-2
由此可得a≥-2；
（Ⅲ）（反证法）假设

OA

与

OB

垂直，则

OA

•

OB

=(s，f(s))•(t，f(t))=st+f(s)f(t)=0
所以（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1，即[st-（s+t）a+a²]•[st-（s+t）b+b²]=-1
由函数f（x）在x=s和x=t处取得极值，即s，t是方程3x²-2（a+b）x+ab=0的两个根，
所以s+t=

2

3

(a+b)，st=

ab

3

从而有（a²-ab）（b²-ab）=-9，即ab（a-b）²=9（0＜a＜b），
则(a+b)2=(a-b)2+4ab=

9

ab

+4ab≥2

36

=12，
所以a+b≥2

3

，这与a+b＜2

3

矛盾，故

OA

与

OB

不可能垂直．

点评：本题主要研究利用导数研究函数的单调性及求闭区间上函数的最值以及函数恒成立问题．要求学生掌握导函数的正负与函数单调性的关系，即当导函数值大于0时，函数单调递增；当导函数小于0时，函数单调递减．当a≥h（x）恒成立时，只需要求h（x）的最大值；当a≤h（x）恒成立时，只需要求h（x）的最小值．