Question

已知α∈R且α＜0，设函数f（x）=ax²+x-3alnx．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=-1时，证明：f（x）≤2x-2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，解出导函数的零点，由a＜0排除一个，然后由零点对定义域分段，根据不同区间段内导函数的符号判断原函数的单调区间；
（Ⅱ）把a=-1代入函数解析式，然后把要证的不等式作差后构造辅助函数，利用导函数求构造出的函数的最值，由函数最大值等于0证得不等式．

解答：（I）解：由f（x）=ax²+x-3alnx，得f′(x)=2ax+1-

3a

x

=

2ax2+x-3a

x

（x＞0）．
 令f′（x）=0解得x1=

-1- 1+24a2

4a

，x2=

-1+ 1+24a2

4a

（舍）．
列表如下：

x	（0，x1）	x1	（x1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	增函数		减函数

故f（x）的单调递增区间为（0，

-1- 1+24a2

4a

）、递减区间为（

-1- 1+24a2

4a

，+∞）
（II）证明：f（x）的定义域为（0，+∞），a=-1时，f（x）=x-x²+3lnx
设g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx．
则g′(x)=-1-2x+

3

x

=-

(x-1)(2x+3)

x

．
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0．
所以，g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
而g（1）=0，故当x＞0时，g（x）≤0．
即f（x）≤2x-2．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，训练了函数构造法，考查了数学转化思想方法，是有一定难度题目．