【题目】已知定义在区间上的函数
,其中常数
.
(1)若函数分别在区间
上单调,试求
的取值范围;
(2)当时,方程
有四个不相等的实根
.
①证明: ;
②是否存在实数,使得函数
在区间
单调,且
的取值范围为
,若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) (2)见解析,
【解析】试题分析:(1)结合对勾函数的特征,即可知,从而求出参数范围;(2)当
时,方程
即为
或
,由韦达定理可证明.结合函数图像及其单调性,分类讨论分别在四个单调区间内去求解,最后求并集即可.
试题解析:(1)设
∵∴函数
分别在区间
上单调 且
要使函数分别在区间
上单调
则只需
(2)①当时,
或
即或
∵为方程
的四个不相等的实根
∴由根与系数的关系得
②如图,可知,
在
、
、
、
均为单调函数
(Ⅰ)当时,
在
上单调递减
则两式相除整理得
∵∴上式不成立 即
无解,
无取值 10分
(Ⅱ)当时,
在
上单调递增
则即
在
有两个不等实根
而令则
作在
的图像可知,
12分
(Ⅲ)当时,
在
上单调递减
则两式相除整理得
∴∴
∴
由得
则关于
的函数是单调的,而
应有两个不同的解
∴此种情况无解
(Ⅳ)当时,同(Ⅰ)可以解得
无取值
综上, 的取值范围为
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某保险公司有一款保险产品的历史收益率(收益率利润
保费收入)的频率分布直方图如图所示:
(1)试估计这款保险产品的收益率的平均值;
(2)设每份保单的保费在20元的基础上每增加元,对应的销量为
(万份).从历史销售记录中抽样得到如下5组
与
的对应数据:
| 25 | 30 | 38 | 45 | 52 |
销量为 | 7.5 | 7.1 | 6.0 | 5.6 | 4.8 |
由上表,知与
有较强的线性相关关系,且据此计算出的回归方程为
.
(ⅰ)求参数的值;
(ⅱ)若把回归方程当作
与
的线性关系,用(1)中求出的收益率的平均值作为此产品的收益率,试问每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大利润,并求出最大利润.注:保险产品的保费收入
每份保单的保费
销量.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】定义在上的函数
满足:
对任意
、
恒成立,当
时,
.
(1)求证在
上是单调递增函数;
(2)已知,解关于
的不等式
;
(3)若,且不等式
对任意
恒成立.求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】吉安一中举行了一次“环保知识竞赛”活动,为了解本了次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为分)作为样本(样本容量为
)进行统计. 按照
的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在
的数据).
(1)求样本容量和频率分布直方图中的
的值;
(2)在选取的样本中,从竞赛学生成绩是分以上(含
分)的同学中随机抽取
名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,设
表示所抽取的
名同学中得分在
的学生人数,求
的分布列及数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+4),当2≤x≤6时, ,f(4)=31.
(1)求m,n的值;
(2)比较f(log3m)与f(log3n)的大小.
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【题目】(本小题满分12分) 函数f(x)是定义在R上的偶函数,已知当x≤0时,f(x)=x2+4x+3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)画出函数的图象,并写出函数f(x)的单调区间;
(3)求f(x)在区间[-1,2]上的值
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