Question

如果函数f（x）的定义域为R，对任意实数a，b满足f（a+b）=f（a）•f（b）．
（1）设f（1）=k（k≠0），试求f（10）； 
（2）设当x＜0时，f（x）＞1，试解不等式f（x+5）＞

1

f(x)

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）运用赋值法，求出f（2）=f²（1），f（3）=f³（1），…，f（n）=fⁿ（1），即可得到f（10）；
（2）运用赋值，求出对任意x∈R，必有f（x）＞0．再求f（0），设x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，f（x₁-x₂）＞1．由条件推出函数的单调性，再由单调性，解出不等式，即可．

解答： 解：（1）∵任意实数a，b满足f（a+b）=f（a）•f（b），
∴f（2）=f²（1），f（3）=f³（1），…，f（n）=fⁿ（1），
∴f（10）=f（1）[f（1）]⁹=k¹⁰．
（2）对任意的x∈R，f(x)=f(

x

2

+

x

2

)=f2(

x

2

)≥0．
假设存在x₀∈R，使f（x₀）=0，
则取x＜0，有f（x）=f（x-x₀+x₀）=f（x-x₀）•f（x₀）=0，
这与已知矛盾，则f（x₀）≠0．于是对任意x∈R，必有f（x）＞0．
∵f（0）=f（0+0）=f²（0）≠0，∴f（0）=1．
设x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，f（x₁-x₂）＞1．
又∵f（x₂）＞0，∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）f（x₂）＞f（x₂），
∴f（x）为减函数．
不等式等价于f（x+5）f（x）＞1，
∴f（2x+5）＞f（0），
∴2x+5＜0，即x＜-

5

2

．
∴原不等式的解集为（-∞，-

5

2

）．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查赋值法解决抽象函数值，考查函数的单调性及运用，主要是解不等式，属于中档题．