Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB为正三角形，四边形ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，AB=2AD，M，N分别为PB，PC中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角B﹣AM﹣C的大小；
（Ⅲ）在BC上是否存在点E，使得EN⊥平面AMN？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵M，N分别是PB，PC中点 ∴MN是△ABC的中位线
∴MN∥BC∥AD
又∵AD平面PAD，MN平面PAD
所以MN∥平面PAD．
解：（Ⅱ）过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，
因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，
如图建立空间直角坐标系，

设AB=2，则A（﹣1，0，0），C（1，1，0），
M（ ，0， ），
B（1，0，0），N（ ， ， ），
则 ，
设平面CAM法向量为 ，
由 ，得 ，
令x1=1，则 ，即
平面ABM法向量
所以，二面角B﹣AM﹣C的余弦值
因为二面角B﹣AM﹣C是锐二面角，
所以二面角B﹣AM﹣C等于45°
（Ⅲ）存在点E，使得EN⊥平面AMN
设E（1，λ，0），则 ，
由 可得 ，
所以在BC存在点E，使得EN⊥平面AMN，
此时 ．
【解析】（本小题满分14分）
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．