Question

列三角形数表

假设第n行的第二个数为a_n（n≥2，n∈N^*）
（1）依次写出第六行的所有数字；
（2）归纳出a_n+1与a_n的关系式并求出a_n的通项公式；
（3）设a_nb_n=1求证：b₂+b₃+…+b_n＜1．

Answer 1

考点：数列的求和,归纳推理

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据三角形数表，两侧数为从1开始的自然数列，中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和的规律写出来．
（2）依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解．
（3）根据（2）求出b_n的表达式，然后再证明不等式即可．

解答： 解：（1）第六行的所有6个数字分别
是7，21，35，35，21，7；…（2分）
（2）依题意a_n+1=a_n+n+1（n≥2），
依题意a_n+1=a_n+n+1（n≥2），a₂=2…（4分）a_n-a_n-1=n（n≥3），
a_n=a₂+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）…（6分）
=3+

(3+n)(n-2)

2

=

n(n+1)

2

(n≥2)，
（3）由a_nb_n=1得bn=

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴b₂+b₃+…+b_n=2（

1

2

-

1

3

）+2（

1

3

-

1

4

）+…+2（

1

n

-

1

n+1

）=2（

1

2

-

1

n+1

）=1-

2

n+1

，
∵n≥1，
∴

2

n+1

＞0
∴b₂+b₃+…+b_n=1-

2

n+1

＜1．

点评：本题通过三角数表构造了一系列数列，考查了数列的通项及求和的方法、程序框图，还考查了数列间的关系，入题较难，知识点，方法活，属中档题．