Question

【题目】已知，函数有两个不同的极值点，．

（1）求的取值范围；

（2）证明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）求函数的定义域，以及导数，将问题转化为导数方程

，转化为二次方程在上有两个不等的实根，再分析、对称轴以及二次函数在处函数值的正负，列出有关的不等式组解出即可；

（2）由、为二次方程的两根，列出韦达定理，再将韦达定理代入代数式，经过化简得出关于的函数，并令，

转化为关于的函数，再利用导数结合单调性证明结论成立。

（1），函数 定义域：．，

，

函数有两个不同的极值点，img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/05/28/06/0c1e6116/SYS202005280601105383817422_DA/SYS202005280601105383817422_DA.012.png" width="18" height="24" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />．对于中的应满足①②③三个条件：

，①，△，②，③

由①②③可得的取值范围：，

（2）证明：，

得：，．，

，

令，则，

将其令为即：，则有：，

，，在定义域是单调递减的函数，

（4），在定义域也是单调递减的函数，（4）．

即：得证．