Question

【题目】在三棱锥中，平面，，，，是的中点，是线段上的一点，且.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由已知易得是的中点，由平行平面内直线，证得平面；

（2）设点到平面的距离为，利用，求得。

（1）证明：因为，，，

所以.

因为，所以是的斜边上的中线，

所以是的中点.

又因为是的中点，所以.

因为平面，平面，

所以平面.

（2）解法一：由（1）得，

.

.

因为，所以.

因为平面，所以.

又，，所以平面.

因为平面，所以.由（1）知，所以.

在中，，

所以.

设点到平面的距离为，

则由，得，即.

解得.即点到平面的距离为.

解法二：因为是的中点，

所以点到平面的距离等于点到平面的距离.

因为平面，所以.

又，，所以平面.

由（1）知，所以平面.又平面，

所以平面平面.

过作，垂足为，则平面，

所以的长即为点到平面的距离.

在中，由得.

所以点到平面的距离为.