Question

【题目】已知动圆过定点且在轴上截得的弦长为4。

（1）求动圆的圆心的轨迹的方程；

（2）过点的动直线与曲线交于两点，点在曲线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且点在点的右侧，记的面积为的面积为，求的最小值。

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）由曲线与方程的关系可得：，化简可得轨迹的方程；

（2）分别设,,,， 联立直线与抛物线方程，求得各点坐标，再结合三角形面积公式及均值不等式求的最小值即可.

解：（1）设圆心坐标为,

由已知有：，

化简得：，

轨迹的方程为；

（2）设,,,，

令，则

由于直线过点，则直线的方程为，

代入得：，

即，即, 即 ,

又由于， ，

且的重心在轴上，

则 ，

则=,则

则=，

所以，

所以直线的方程为，

令得：，即，

由于点在点的右侧，

则，即，

则===2-，

令，

则 ===，

当且仅当，即时取等号，

故的最小值为.