Question

5．点B，F分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点与左焦点，过F作x轴的垂线与椭圆交于第二象限的一点P，H（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0）（c为半焦距），若OP∥BH（O为坐标原点），则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• B． $\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{{\;}^{3}\sqrt{4}}{2}$

Answer 1

分析 依题意，可求得P（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），利用HB∥OP求得c²=ab，再利用椭圆的性质即可求得答案．

解答 解：依题意，作图如下：
∵F（-c，0）是椭圆的左焦点，PF⊥OF，
∴P（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
∴直线OP的斜率k=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}-0}{-c-0}=-\frac{{b}^{2}}{ac}$；
又H（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0），B（0，b），
∴直线HB的斜率k′=$\frac{b-0}{0-\frac{{a}^{2}}{c}}=-\frac{bc}{{a}^{2}}$．
∵HB∥OP，
∴$-\frac{{b}^{2}}{ac}=-\frac{bc}{{a}^{2}}$，
∴c²=ab，又b²=a²-c²，
∴c⁴=a²b²=a²（a²-c²），
∴e⁴+e²-1=0，
∴e²=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
则e=$\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$，
故选：B．

点评 本题考查椭圆的性质，利用HB∥OP求得c²=ab是关键，考查分析与计算能力，属于中档题．